2次曲線の接線の公式
着眼点「x^2\to x_1x、y^2\to y_1y、x\to\dfrac{x+x_1}{2}」と置きかえるだけ。
| 曲線 | 点 (x_1,y_1) における接線 |
|---|---|
| \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 | \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1 |
| \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 | \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1 |
| y^2=4px | y_1y=2p(x+x_1) |
例題
1
楕円 \dfrac{x^2}{4}+y^2=1 上の点 \left(\sqrt3,\,\frac12\right) における接線を求めよ。
解答
\frac{\sqrt3\,x}{4}+\frac{1}{2}y=1（点が楕円上にあるかの確認：\frac34+\frac14=1）
2
放物線 y^2=4x 上の点 (1,2) における接線を求めよ。
解答
p=1 なので 2y=2(x+1)、答え y=x+1
（検算：y^2=4x に代入すると (x-1)^2=0 で重解）
（検算：y^2=4x に代入すると (x-1)^2=0 で重解）
注意接点が曲線上にあることを先に確かめる。曲線外の点から引く接線はこの公式を直接使えない（接点を (x_1,y_1) とおいて解く）。