媒介変数表示（円・楕円・双曲線）と消去
着眼点\cos\theta,\ \sin\theta が出たら \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 で消す。逆に楕円上の点は (a\cos\theta,\,b\sin\theta) とおくと1変数になる。
| 曲線 | 媒介変数表示 |
|---|---|
| x^2+y^2=r^2 | x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta |
| \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 | x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta |
| \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 | x=\dfrac{a}{\cos\theta},\ y=b\tan\theta |
例題
1
x=2\cos\theta+1,\ y=3\sin\theta の表す曲線を求めよ。
解答
\cos\theta=\frac{x-1}{2},\ \sin\theta=\frac y3 を \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 へ。\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1
2
楕円 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 上の点 (x,y) について、x+y の最大値を求めよ。
解答
x=3\cos\theta,\ y=2\sin\theta とおく。x+y=2\sin\theta+3\cos\theta=\sqrt{13}\sin(\theta+\alpha)（\alpha は \cos\alpha=\frac2{\sqrt{13}},\ \sin\alpha=\frac3{\sqrt{13}} を満たす角）
答え：最大値 \sqrt{13}
答え：最大値 \sqrt{13}
注意\theta や t の範囲が制限されていると、曲線の一部だけになる。範囲があれば x,\ y の範囲も書く。
確認問題
1
x=t+\dfrac1t,\ y=t-\dfrac1t を消去すると？
答え
x^2-y^2=\left(t+\frac1t\right)^2-\left(t-\frac1t\right)^2=4。双曲線 x^2-y^2=4。