極座標と直交座標の変換
着眼点x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r^2=x^2+y^2 の3本だけ。極方程式は両辺に r をかけて r^2,\ r\cos\theta を作る。
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r^2=x^2+y^2
例題
1
極座標 \left(2,\,\frac{2\pi}{3}\right) を直交座標に、直交座標 (1,-1) を極座標（0\le\theta<2\pi）に直せ。
解答
x=2\cos\frac{2\pi}3=-1,\ y=2\sin\frac{2\pi}3=\sqrt3 → (-1,\,\sqrt3)
r=\sqrt2、第4象限で \theta=\frac{7\pi}4 → \left(\sqrt2,\,\frac{7\pi}{4}\right)
r=\sqrt2、第4象限で \theta=\frac{7\pi}4 → \left(\sqrt2,\,\frac{7\pi}{4}\right)
2
極方程式 r=4\cos\theta を直交座標の方程式に直せ。
解答
両辺に r をかける：r^2=4r\cos\theta。x^2+y^2=4x \ \Rightarrow\ (x-2)^2+y^2=4答え：中心 (2,0)、半径2の円