離心率と2次曲線の統一的な定義
着眼点焦点までの距離 ÷ 準線までの距離 =e。e<1 楕円、e=1 放物線、e>1 双曲線。
例題
1
焦点 (1,0)、準線 x=4、離心率 e=\frac12 の曲線の方程式を求めよ。
解答
\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\frac12|x-4|。2乗して4倍：4(x^2-2x+1+y^2)=x^2-8x+16。
3x^2+4y^2=12 より \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（検算：a=2,\ c=1 で e=\frac ca=\frac12）
3x^2+4y^2=12 より \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（検算：a=2,\ c=1 で e=\frac ca=\frac12）
ポイント後回しでよい理由：教科書では発展・参考扱いが多く、地方国公立では定義が問題文で与えられる。例外：極方程式と組み合わせて出す理系の個別試験を受ける人。