双曲線 \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1
着眼点焦点は c=\sqrt{a^2+b^2}（足す）。漸近線は右辺を0にして y=\pm\dfrac ba x。
\text{焦点}\ (\pm\sqrt{a^2+b^2},\ 0),\quad |\mathrm{PF}-\mathrm{PF'}|=2a,\quad \text{漸近線}\ y=\pm\frac bax
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1 なら焦点は y 軸上 (0,\pm\sqrt{a^2+b^2})。
例題
1
双曲線 \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1 の焦点と漸近線を求めよ。
解答
c=\sqrt{16+9}=5。焦点 (\pm5,\,0)、漸近線 y=\pm\frac34x
2
頂点が (\pm1,\,0)、漸近線が y=\pm2x の双曲線の方程式と焦点を求めよ。
解答
a=1、\frac ba=2 より b=2。答え x^2-\dfrac{y^2}{4}=1、焦点 (\pm\sqrt5,\,0)
ポイントグラフを描くときは、まず x=\pm a,\ y=\pm b の長方形を描き、その対角線を漸近線にする。