定積分と不等式（和を積分で評価）
着眼点\sum\frac1k のように和が計算できないときは、長方形の面積と曲線の下の面積を比べる。グラフを描いて大小を決める。
f(x) が減少関数なら k\le x\le k+1 で f(k+1)\le f(x)\le f(k) より f(k+1)<\int_k^{k+1}f(x)\,dx<f(k)
例題
1
自然数 n について \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1k>\log(n+1) を示せ。
解答
k\le x\le k+1 で \frac1x\le\frac1k（等号は x=k のみ）より \int_k^{k+1}\frac{dx}{x}<\frac1kk=1,\cdots,n で足すと \sum_{k=1}^n\frac1k>\int_1^{n+1}\frac{dx}x=\log(n+1)
ポイントこの不等式から \sum\frac1k\to\infty（調和級数の発散）も示せる。