部分積分
着眼点「多項式 × (e^x・\sin・\cos)」は多項式を微分する側に。「多項式 × \log x」は \log x を微分する側に。
\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\log x 単独は \log x=(x)'\log x と見る：\displaystyle\int\log x\,dx=x\log x-x+C
例題
1
\displaystyle\int xe^x\,dx を求めよ。
解答
xe^x-\int1\cdot e^x\,dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C
2
\displaystyle\int e^x\sin x\,dx を求めよ。
解答
I=\int e^x\sin x\,dx とおく。部分積分を2回：I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx\right)I=e^x(\sin x-\cos x)-I より I=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C
ポイントe^x\sin x 型は2回で元の積分に戻るので、I とおいて方程式として解く。
確認問題
1
\displaystyle\int x\sin x\,dx
答え
-x\cos x+\sin x+C
2
\displaystyle\int_1^e\log x\,dx
答え
1（[x\log x-x]_1^e=(e-e)-(0-1)）