体積（断面積・回転体）
着眼点体積は「断面積を積分」が原理。x 軸回転は断面が円なので \pi y^2。y 軸回転は x=g(y) にして \pi x^2 を y で積分。
V=\int_a^bS(x)\,dx,\qquad V_x=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx,\qquad V_y=\pi\int_c^d\{g(y)\}^2dy
例題
1
曲線 y=\sqrt x\ (0\le x\le4) と x 軸、直線 x=4 で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
解答
\pi\int_0^4(\sqrt x)^2dx=\pi\left[\frac{x^2}2\right]_0^4=8\pi
2
y=\sin x\ (0\le x\le\pi) と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
解答
\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\pi\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}2（\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac\pi2 は三角関数の積分の項目を参照）
注意2曲線の間を回転させるときは \pi\int(f^2-g^2)\,dx。\pi\int(f-g)^2dx は誤り（ドーナツ状の断面）。