三角関数の積分（次数下げ・積和・奇関数）
着眼点\sin^2,\cos^2 は半角で次数を下げる。\sin\cdot\cos の積は積和公式。奇数乗は1つ取り出して f^nf' 型。
\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\quad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\sin\alpha\cos\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
例題
1
\displaystyle\int_0^\pi\sin^2x\,dx を求めよ。
解答
\int_0^\pi\frac{1-\cos2x}{2}dx=\left[\frac x2-\frac{\sin2x}{4}\right]_0^\pi=\frac\pi2
2
\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\,dx を求めよ。
解答
\sin^3x=(1-\cos^2x)\sin x。t=\cos x とおくと dt=-\sin x\,dx、x:0\to\frac\pi2 で t:1\to0。\int_1^0(1-t^2)(-dt)=\int_0^1(1-t^2)\,dt=\frac23
ポイント\displaystyle\int_{-a}^af(x)\,dx は、奇関数部分が 0、偶関数部分は 2\int_0^a。例：\int_{-\pi}^{\pi}(x^3\cos x+x\sin x)\,dx=2\int_0^\pi x\sin x\,dx=2\pi。
確認問題
1
\displaystyle\int\sin3x\cos x\,dx
答え
-\frac18\cos4x-\frac14\cos2x+C（積和で \frac12(\sin4x+\sin2x)）