置換積分（定積分は範囲も置き換える）
着眼点「まとまり」を t とおく。\sqrt{a^2-x^2} は x=a\sin\theta、\frac{1}{x^2+a^2} は x=a\tan\theta。
x=g(t) とおくと dx=g'(t)\,dt、\int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))\,g'(t)\,dt\quad(a=g(\alpha),\ b=g(\beta))
例題
1
\displaystyle\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx を求めよ。
解答
t=1-x とおくと x=1-t、dx=-dt、x:0\to1 のとき t:1\to0。\int_1^0(1-t)\sqrt t\,(-dt)=\int_0^1\left(t^{\frac12}-t^{\frac32}\right)dt=\frac23-\frac25=\frac4{15}答え \dfrac4{15}
2
\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx を求めよ。
解答
x=\tan\theta とおくと dx=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}、x:0\to1 のとき \theta:0\to\frac\pi4。1+\tan^2\theta=\dfrac1{\cos^2\theta} より \int_0^{\frac\pi4}\cos^2\theta\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\frac\pi4答え \dfrac\pi4
ポイント\displaystyle\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}{4}（四分円の面積）。図形で読めるときは置換しなくてよい。
注意置換したのに積分範囲を x のまま残す、dx を置き換え忘れる、の2つが定番のミス。