区分求積法
着眼点\lim\frac1n\sum f\left(\frac kn\right) の形を作る。\frac1n をくくり出し、残りを \frac kn だけの式にする。
\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac kn\right)=\int_0^1f(x)\,dx（k=0 から n-1 でも同じ）
例題
1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} を求めよ。
解答
\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac kn}\to\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\log2答え \log2
2
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} を求めよ。
解答
分母・分子を n^2 で割る。\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\left(\frac kn\right)^2}\to\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4答え \dfrac\pi4
注意k が 1 から 2n まで動くなど、範囲が違えば積分区間も変わる（\frac kn は 0 から 2 → \int_0^2）。