媒介変数表示の曲線と面積
着眼点\int y\,dx を t の積分に置換する。x の向きと t の向きの対応（積分範囲）に注意。
S=\int_a^by\,dx=\int_\alpha^\beta y(t)\,\frac{dx}{dt}\,dt
例題
1
サイクロイド x=t-\sin t,\ y=1-\cos t\ (0\le t\le2\pi) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
y\ge0、\frac{dx}{dt}=1-\cos t\ge0 で、x:0\to2\pi と t:0\to2\pi が対応。S=\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2dt=\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos t+\frac{1+\cos2t}{2}\right)dt=2\pi+\pi=3\pi答え 3\pi
注意t が増えると x が減る区間では、範囲の上下が逆になる。符号で面積が負になったら範囲を確認。