\frac{f'}{f} 型・f^nf' 型（置換を書かない置換）
着眼点被積分関数の中に「ある式」と「その導関数」がペアで見えたら、この型。\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} もこれ。
\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|+C,\qquad \int\{f(x)\}^nf'(x)\,dx=\frac{\{f(x)\}^{n+1}}{n+1}+C
例題
1
\displaystyle\int\tan x\,dx を求めよ。
解答
(\cos x)'=-\sin x なので \int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}dx=-\log|\cos x|+C
2
\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}dx を求めよ。
解答
(x^2+1)'=2x なので係数を合わせて \frac12\int\frac{2x}{x^2+1}dx=\frac12\log(x^2+1)+C（x^2+1>0 なので絶対値は不要）
確認問題
1
\displaystyle\int\sin^3x\cos x\,dx
答え
\frac14\sin^4x+C（f=\sin x、f'=\cos x）
2
\displaystyle\int\frac{\log x}{x}dx
答え
\frac12(\log x)^2+C（f=\log x、f'=\frac1x）