定積分で表された関数
着眼点上端に x があれば微分して中身を取り出す。上下端が定数なら「定積分 = 定数 k」とおく。
\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x),\qquad \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))\,g'(x)
例題
1
\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt を求めよ。
解答
\sin(x^2)\cdot(x^2)'=2x\sin(x^2)
2
f(x)=e^x+\displaystyle\int_0^1tf(t)\,dt を満たす f(x) を求めよ。
解答
k=\displaystyle\int_0^1tf(t)\,dt（定数）とおくと f(x)=e^x+k。k=\int_0^1t(e^t+k)\,dt=\left[(t-1)e^t\right]_0^1+\frac k2=1+\frac k2よって k=2。答え f(x)=e^x+2
注意\displaystyle\int_0^x(x-t)f(t)\,dt のように中に x があるときは、x\int_0^xf(t)\,dt-\int_0^xtf(t)\,dt と x を外に出してから微分する。