曲線の長さ
着眼点根号の中が「何かの2乗」になるよう作られていることが多い。1-\cos t=2\sin^2\frac t2 などを使って根号を外す。
L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt,\qquad L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx
例題
1
曲線 y=\dfrac23x^{\frac32}\ (0\le x\le3) の長さを求めよ。
解答
y'=x^{\frac12} より \sqrt{1+y'^2}=\sqrt{1+x}。\int_0^3(1+x)^{\frac12}dx=\left[\frac23(1+x)^{\frac32}\right]_0^3=\frac23(8-1)=\frac{14}3
2
サイクロイド x=t-\sin t,\ y=1-\cos t\ (0\le t\le2\pi) の長さを求めよ。
解答
(1-\cos t)^2+\sin^2t=2-2\cos t=4\sin^2\frac t2。0\le t\le2\pi で \sin\frac t2\ge0 なので L=\int_0^{2\pi}2\sin\frac t2\,dt=\left[-4\cos\frac t2\right]_0^{2\pi}=4+4=8答え 8
注意\sqrt{4\sin^2\frac t2}=2\left|\sin\frac t2\right|。範囲で符号を確認してから絶対値を外す。