余りで分類する（n=3k,\ 3k+1,\ 3k+2）
着眼点「すべての整数 n について〜を示せ」は、割る数で n を分類して全部調べる。
m で割った余りで n=mk,\ mk+1,\ \dots,\ mk+(m-1) と分ける。mk-1 のように負の余りで書くと計算が楽になる。
連続する m 個の整数の積は m! の倍数（特に連続2整数の積は2の倍数、連続3整数の積は6の倍数）。
例題
1
整数 n について、n^2 を3で割った余りは2にならないことを示せ。
解答
n=3k のとき n^2=9k^2、余り0。
n=3k\pm1 のとき n^2=9k^2\pm6k+1=3(3k^2\pm2k)+1、余り1。
よって余りは0か1で、2にはならない。■
n=3k\pm1 のとき n^2=9k^2\pm6k+1=3(3k^2\pm2k)+1、余り1。
よって余りは0か1で、2にはならない。■
2
整数 n について、n^3-n は6の倍数であることを示せ。
解答
n^3-n=(n-1)n(n+1) は連続する3整数の積。
連続2整数を含むので2の倍数、連続3整数を含むので3の倍数。
2と3は互いに素なので6の倍数。■
連続2整数を含むので2の倍数、連続3整数を含むので3の倍数。
2と3は互いに素なので6の倍数。■
ポイント平方数の余り：3で割ると0,1／4で割ると0,1／8で割ると（奇数なら）1。不定方程式の「解なし」の証明で使う。