素因数分解と約数の個数・総和
着眼点まず素因数分解。約数は「各素数を何個使うか」の選び方なので、指数＋1を掛ける。
N=p^a q^b r^c のとき
\text{約数の個数}=(a+1)(b+1)(c+1) \text{約数の総和}=(1+p+\cdots+p^a)(1+q+\cdots+q^b)(1+r+\cdots+r^c)\sqrt{kN} が自然数 ⇔ kN の素因数の指数がすべて偶数。
例題
1
360 の正の約数の個数と総和を求めよ。
解答
360=2^3\cdot3^2\cdot5。
個数 (3+1)(2+1)(1+1)=24。
総和 (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=15\cdot13\cdot6=1170。
答 24個、1170
個数 (3+1)(2+1)(1+1)=24。
総和 (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=15\cdot13\cdot6=1170。
答 24個、1170
2
正の約数がちょうど6個である最小の自然数を求めよ。
解答
個数 6=6 または 3\times2 なので、形は p^5 か p^2q（p,q は異なる素数）。
p^5 の最小は 2^5=32。p^2q の最小は 2^2\cdot3=12。
答 12（約数 1,2,3,4,6,12）
p^5 の最小は 2^5=32。p^2q の最小は 2^2\cdot3=12。
答 12（約数 1,2,3,4,6,12）
確認問題
1
\sqrt{540n} が自然数になる最小の自然数 n は？
答え
540=2^2\cdot3^3\cdot5。指数を偶数にするため n=3\cdot5=15（\sqrt{8100}=90）