積の形に直す (x-a)(y-b)=k
着眼点xy と x,\ y の1次の項がある式は、因数分解できるように定数を足して「整数 × 整数 ＝ 定数」にする。
xy+ax+by=c\ \Longleftrightarrow\ (x+b)(y+a)=c+ab
あとは定数の約数の組を全部書き、条件（正・大小・偶奇）でふるう。
例題
1
x^2-y^2=12 を満たす自然数の組 (x,y) を求めよ。
解答
(x-y)(x+y)=12。0<x-y<x+y で、x-y と x+y は和が 2x（偶数）なので偶奇が一致。
12=1\cdot12=2\cdot6=3\cdot4 のうち両方偶数は (2,6)。
x-y=2,\ x+y=6 より x=4,\ y=2。
答 (4,2)
12=1\cdot12=2\cdot6=3\cdot4 のうち両方偶数は (2,6)。
x-y=2,\ x+y=6 より x=4,\ y=2。
答 (4,2)
2
xy=2x+3y を満たす正の整数の組 (x,y) をすべて求めよ。
解答
xy-2x-3y=0 より (x-3)(y-2)=6。
x\ge1,\ y\ge1 なので x-3\ge-2,\ y-2\ge-1。
負×負の組 (-1,-6),(-2,-3),(-3,-2),(-6,-1) はいずれも範囲外。
正の組 (1,6),(2,3),(3,2),(6,1) より
答 (x,y)=(4,8),(5,5),(6,4),(9,3)（検算：4\cdot8=32=8+24）
x\ge1,\ y\ge1 なので x-3\ge-2,\ y-2\ge-1。
負×負の組 (-1,-6),(-2,-3),(-3,-2),(-6,-1) はいずれも範囲外。
正の組 (1,6),(2,3),(3,2),(6,1) より
答 (x,y)=(4,8),(5,5),(6,4),(9,3)（検算：4\cdot8=32=8+24）
注意負の約数の組を検討せずに捨てるのは減点対象。範囲から外れることを1行で書く。