三角形の面積と内接円
着眼点面積は「2辺と間の角」。3辺だけなら、余弦定理で \cos → \sin → 面積の順。内接円の半径は面積から逆算する。
S=\frac12bc\sin A,\qquad S=\frac12r(a+b+c)\quad(r\text{ は内接円の半径})
例題
1
b=4,\ c=5,\ A=60^\circ の三角形の面積を求めよ。
解答
S=\frac12\cdot4\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=5\sqrt3
2
a=5,\ b=7,\ c=8 の三角形の面積 S と内接円の半径 r を求めよ。
解答
\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+64-49}{80}=\frac12,\quad B=60^\circS=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}2=10\sqrt3r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{20\sqrt3}{20}=\sqrt3
ポイント3辺から面積を出すときは、\cos がきれいになる角（例2では B）を選ぶと楽。