三角形の形状決定
着眼点角の式を辺の式に直す。\sin A は \dfrac a{2R}、\cos A は余弦定理で置きかえて、辺だけの式にして整理する。
例題
1
a\cos B=b\cos A を満たす \triangle ABC はどんな三角形か。
解答
a\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=b\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}両辺に 2c を掛けて c^2+a^2-b^2=b^2+c^2-a^2 → a^2=b^2 → a=b。
BC=CA の二等辺三角形。
BC=CA の二等辺三角形。
2
\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C を満たす三角形は。
解答
\sin A=\dfrac a{2R} などを代入して (2R)^2 を払うと a^2=b^2+c^2。A=90^\circ の直角三角形。
注意答えは「どの辺が等しいか」「どの角が直角か」まで書く。