円に内接する四角形
着眼点対角の和が 180^\circ なので \cos C=-\cos A、\sin C=\sin A。対角線を2つの三角形の余弦定理で2通りに表して等式を作る。
例題
1
円に内接する四角形 ABCD で AB=2,\ BC=3,\ CD=1,\ DA=2 のとき、\cos A、対角線 BD、面積 S を求めよ。
解答
\triangle ABD と \triangle CBD で余弦定理。C=180^\circ-A より \cos C=-\cos A。BD^2=4+4-8\cos A=9+1+6\cos A-14\cos A=2 → \cos A=-\dfrac17。BD^2=8+\frac87=\frac{64}7,\qquad BD=\frac{8}{\sqrt7}=\frac{8\sqrt7}7\sin A=\sin C=\sqrt{1-\frac1{49}}=\dfrac{4\sqrt3}7。S=\frac12\cdot2\cdot2\sin A+\frac12\cdot3\cdot1\sin C=\frac72\cdot\frac{4\sqrt3}7=2\sqrt3
注意角 A をはさむ2辺は AB,AD、角 C をはさむ2辺は CB,CD。組を間違えないよう図に書き込む。