\sin\theta+\cos\theta の値から式の値
着眼点和が分かったら2乗して積 \sin\theta\cos\theta を出す。あとは数と式の対称式と同じ。
(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta
例題
1
\sin\theta+\cos\theta=\dfrac12 のとき、\sin\theta\cos\theta と \sin^3\theta+\cos^3\theta を求めよ。
解答
\dfrac14=1+2\sin\theta\cos\theta → \sin\theta\cos\theta=-\dfrac38。\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(1-\sin\theta\cos\theta)=\frac12\cdot\frac{11}8=\frac{11}{16}
2
上の条件で 0^\circ\le\theta\le180^\circ のとき、\sin\theta-\cos\theta を求めよ。
解答
\sin\theta\cos\theta<0 と \sin\theta\ge0 より \cos\theta<0、よって \sin\theta-\cos\theta>0。(\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2\cdot\left(-\frac38\right)=\frac74,\qquad \sin\theta-\cos\theta=\frac{\sqrt7}2
注意\sin\theta-\cos\theta は2乗から出すので、符号を別に決める理由を書く。