正弦定理と余弦定理の使い分け
着眼点与えられた3つの量の組み合わせで決める。迷ったら「分かっている量と求めたい量をすべて含む式」を選ぶ。
| 分かっているもの | 求めるもの | 使う定理 |
|---|---|---|
| 2角と1辺 | 他の辺 | 正弦定理（3つ目の角は 180^\circ から） |
| 1組の対辺と対角 | 外接円の半径 | 正弦定理 |
| 2辺とその間の角 | 残りの辺 | 余弦定理 |
| 3辺 | 角 | 余弦定理（\cos の形） |
| 2辺とその間でない角 | 残りの辺 | 余弦定理で二次方程式（解が2つになりうる） |
例題
1
\sin A:\sin B:\sin C=3:5:7 のとき、最大の角の大きさを求めよ。
解答
正弦定理より a:b:c=3:5:7。a=3k,\ b=5k,\ c=7k とおく。最大の角は C。\cos C=\frac{9k^2+25k^2-49k^2}{2\cdot3k\cdot5k}=\frac{-15}{30}=-\frac12,\qquad C=120^\circ
ポイント比で与えられたら k を使って辺を置く。k は \cos の計算で消える。