円の接線
着眼点円上の点なら公式1本。円外の点からは「接点を (x_1,y_1) とおく」が確実。
x^2+y^2=r^2 \text{ 上の点 }(x_1,y_1)\text{ における接線}: x_1x+y_1y=r^2
円外の点 (p,q) から引く接線: 接点 (x_1,y_1) とおき、
①x_1p+y_1q=r^2（接線が (p,q) を通る） ②x_1^2+y_1^2=r^2 を連立。
例題
1
円 x^2+y^2=25 上の点 (3,-4) における接線の方程式を求めよ。
解答
答 3x-4y=25
2
点 (3,1) から円 x^2+y^2=5 に引いた接線の方程式を求めよ。
解答
接点 (x_1,y_1) とすると接線 x_1x+y_1y=5 が (3,1) を通るので 3x_1+y_1=5
y_1=5-3x_1 を x_1^2+y_1^2=5 に代入: 10x_1^2-30x_1+20=0、(x_1-1)(x_1-2)=0
接点 (1,2),\ (2,-1)
答 x+2y=5,\ 2x-y=5
y_1=5-3x_1 を x_1^2+y_1^2=5 に代入: 10x_1^2-30x_1+20=0、(x_1-1)(x_1-2)=0
接点 (1,2),\ (2,-1)
答 x+2y=5,\ 2x-y=5
注意中心が原点でない円は公式が変わる: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の点 (x_1,y_1) での接線は (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2。