直線に関する対称点と折れ線の最短
着眼点対称点は「中点が直線上」「結ぶ線分が直線に垂直」の2式。折れ線の最短は片方を折り返して一直線に。
点 A の直線 \ell に関する対称点 B(p,q):
- AB の中点が \ell 上
- AB\perp\ell（傾きの積 -1）
例題
1
直線 \ell: x+2y-4=0 に関して、点 A(3,3) と対称な点 B を求めよ。
解答
B(p,q) とする。
垂直: \ell の傾き -\dfrac{1}{2} より \dfrac{q-3}{p-3}=2、q=2p-3
中点 \left(\dfrac{p+3}{2},\dfrac{q+3}{2}\right) が \ell 上: \dfrac{p+3}{2}+(q+3)-4=0、p+2q=-1
代入して p+4p-6=-1、p=1,\ q=-1
答 B(1,\ -1)（中点 (2,1) が \ell 上にある）
垂直: \ell の傾き -\dfrac{1}{2} より \dfrac{q-3}{p-3}=2、q=2p-3
中点 \left(\dfrac{p+3}{2},\dfrac{q+3}{2}\right) が \ell 上: \dfrac{p+3}{2}+(q+3)-4=0、p+2q=-1
代入して p+4p-6=-1、p=1,\ q=-1
答 B(1,\ -1)（中点 (2,1) が \ell 上にある）
2
A(1,3),\ B(5,1) と x 軸上の点 P について、AP+PB の最小値とそのときの P を求めよ。
解答
A の x 軸に関する対称点 A'(1,-3)。AP=A'P より AP+PB=A'P+PB\ge A'B
A'B=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}
直線 A'B: 傾き 1、y=x-4。x 軸との交点 P(4,0)
答 最小値 4\sqrt{2}、P(4,0)（検算: AP=3\sqrt{2},\ PB=\sqrt{2}）
A'B=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}
直線 A'B: 傾き 1、y=x-4。x 軸との交点 P(4,0)
答 最小値 4\sqrt{2}、P(4,0)（検算: AP=3\sqrt{2},\ PB=\sqrt{2}）