2円の位置関係・共通弦
着眼点中心間の距離 d と r_1+r_2,\ |r_1-r_2| を比べる。2円の式を引くと共通弦の直線。
| 条件 | 位置関係 |
|---|---|
| d>r_1+r_2 | 離れている |
| d=r_1+r_2 | 外接 |
| |r_1-r_2|<d<r_1+r_2 | 2点で交わる |
| d=|r_1-r_2| | 内接 |
| d<|r_1-r_2| | 一方が他方の内部 |
例題
1
円 x^2+y^2=4 と円 (x-3)^2+(y-4)^2=r^2（r>0）が接するような r を求めよ。
解答
中心間の距離 d=5
外接: r+2=5 より r=3
内接: |r-2|=5 より r=7
答 r=3,\ 7
外接: r+2=5 より r=3
内接: |r-2|=5 より r=7
答 r=3,\ 7
2
2円 x^2+y^2=10,\ x^2+y^2-4x-2y=0 の交点を通る直線の方程式と、交点の座標を求めよ。
解答
辺々引くと 4x+2y=10、直線 2x+y=5
y=5-2x を x^2+y^2=10 に代入: 5x^2-20x+15=0、x=1,\ 3
交点 (1,3),\ (3,-1)（2つ目の円にも代入して 0 を確認）
y=5-2x を x^2+y^2=10 に代入: 5x^2-20x+15=0、x=1,\ 3
交点 (1,3),\ (3,-1)（2つ目の円にも代入して 0 を確認）
ポイント一般に f+kg=0（f=0,\ g=0 は2円）は交点を通る円（k=-1 のとき直線）。