点と直線の距離
着眼点直線は必ず ax+by+c=0 の形にしてから使う。円と直線・三角形の面積で頻繁に登場。
\text{点 }(x_0,y_0)\text{ と直線 } ax+by+c=0 \text{ の距離}:\ d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
参考: O(0,0),\ A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2) の三角形の面積 =\dfrac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|
例題
1
点 (3,1) と直線 4x+3y-5=0 の距離を求めよ。
解答
\dfrac{|12+3-5|}{\sqrt{16+9}}=\dfrac{10}{5}=2
2
O(0,0),\ A(4,1),\ B(1,3) を頂点とする三角形の面積を求めよ。
解答
直線 OA: x-4y=0、OA=\sqrt{17}
B と直線 OA の距離 =\dfrac{|1-12|}{\sqrt{17}}=\dfrac{11}{\sqrt{17}}
面積 =\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{17}\cdot\dfrac{11}{\sqrt{17}}=\dfrac{11}{2}
（検算: \dfrac{1}{2}|4\cdot3-1\cdot1|=\dfrac{11}{2}）
B と直線 OA の距離 =\dfrac{|1-12|}{\sqrt{17}}=\dfrac{11}{\sqrt{17}}
面積 =\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{17}\cdot\dfrac{11}{\sqrt{17}}=\dfrac{11}{2}
（検算: \dfrac{1}{2}|4\cdot3-1\cdot1|=\dfrac{11}{2}）
注意y=2x+1 のまま a=2,\ b=1 としない。2x-y+1=0 に直して b=-1。