円と直線の位置関係・弦の長さ
着眼点判別式より「中心と直線の距離 d と半径 r の比較」が速い。弦の長さは三平方。
\text{弦の長さ}=2\sqrt{r^2-d^2}
| d と r | 位置関係 |
|---|---|
| d<r | 2点で交わる |
| d=r | 接する |
| d>r | 共有点なし |
例題
1
円 x^2+y^2=5 と直線 y=2x+k が接するような k を求めよ。
解答
直線は 2x-y+k=0。中心 (0,0) との距離 \dfrac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}
|k|=5
答 k=\pm5
|k|=5
答 k=\pm5
2
円 x^2+y^2=10 が直線 x+y=2 から切り取る弦の長さを求めよ。
解答
d=\dfrac{|0+0-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
弦 =2\sqrt{10-2}=4\sqrt{2}
（検算: 交点は (3,-1),\ (-1,3)、距離 \sqrt{16+16}=4\sqrt{2}）
弦 =2\sqrt{10-2}=4\sqrt{2}
（検算: 交点は (3,-1),\ (-1,3)、距離 \sqrt{16+16}=4\sqrt{2}）
ポイント交点の座標そのものが必要なときだけ連立して判別式・解の公式に進む。