不等式の表す領域
着眼点境界線をかき、「y> なら上側」「円の式 <r^2 なら内部」。積 AB<0 は「A,B が異符号」で2通りに分ける。
| 不等式 | 領域 |
|---|---|
| y>f(x) | y=f(x) のグラフの上側 |
| y<f(x) | 下側 |
| (x-a)^2+(y-b)^2<r^2 | 円の内部 |
| (x-a)^2+(y-b)^2>r^2 | 円の外部 |
| AB<0 | 「A>0 かつ B<0」または「A<0 かつ B>0」 |
例題
1
連立不等式 y\ge x^2-2,\ y\le x の表す領域を図示する手順を述べよ。
解答
境界の交点: x^2-2=x より x=-1,\ 2、交点 (-1,-1),\ (2,2)
放物線 y=x^2-2 の上側、かつ直線 y=x の下側。
すなわち -1\le x\le2 で放物線と直線にはさまれた部分（境界を含む）
放物線 y=x^2-2 の上側、かつ直線 y=x の下側。
すなわち -1\le x\le2 で放物線と直線にはさまれた部分（境界を含む）
2
(y-x)(x^2+y^2-4)\le0 の表す領域を述べよ。
解答
「y\ge x かつ x^2+y^2\le4」または「y\le x かつ x^2+y^2\ge4」
直線 y=x の上側では円の内部、下側では円の外部（境界を含む）
直線 y=x の上側では円の内部、下側では円の外部（境界を含む）
ポイント迷ったら境界上にない点（原点など）を代入して、その点を含む側かどうかで判定する。
注意境界を「含む／含まない」を必ず書き添える。