領域と最大最小（線形計画）
着眼点求めたい式を =k とおき、その図形（直線・円）が領域と共有点をもつ範囲で k を動かす。
- 領域を図示し、頂点の座標を求める
- ax+by=k とおく（傾き -\dfrac{a}{b} の直線）
- 直線を平行移動し、領域と共有点をもつ範囲で k が最大・最小になる位置を探す（頂点か接点）
例題
1
x\ge0,\ y\ge0,\ x+2y\le8,\ 3x+y\le9 のとき、x+y の最大値を求めよ。
解答
頂点: (0,0),\ (3,0),\ (0,4) と x+2y=8,\ 3x+y=9 の交点 (2,3)
x+y=k（傾き -1）は、境界の傾き -\dfrac{1}{2} と -3 の間なので頂点 (2,3) を通るとき最大。
答 最大値 5（x=2,\ y=3）
x+y=k（傾き -1）は、境界の傾き -\dfrac{1}{2} と -3 の間なので頂点 (2,3) を通るとき最大。
答 最大値 5（x=2,\ y=3）
2
x^2+y^2\le5 のとき、2x+y の最大値を求めよ。
解答
2x+y=k が円と共有点をもつ条件: \dfrac{|k|}{\sqrt{5}}\le\sqrt{5}、-5\le k\le5
接点は直線 y=\dfrac{x}{2} 上で (2,1)
答 最大値 5（x=2,\ y=1）
接点は直線 y=\dfrac{x}{2} 上で (2,1)
答 最大値 5（x=2,\ y=1）
ポイント\dfrac{y}{x} や \dfrac{y-b}{x-a} の最大最小は「点 (a,b) と結ぶ直線の傾き」、x^2+y^2 は「原点からの距離の2乗」と読み替える。