相加平均と相乗平均の関係
着眼点「正の数」「積が一定」の2つがそろったら使う。等号成立条件が実際に満たせるかを必ず確認。
a>0,\ b>0 \text{ のとき }\ \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\quad(\text{等号は } a=b)
よく使う形: x>0 のとき x+\dfrac{k}{x}\ge 2\sqrt{k}
例題
1
x>0 のとき、x+\dfrac{9}{x} の最小値を求めよ。
解答
x>0,\ \dfrac{9}{x}>0 より x+\dfrac{9}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac{9}{x}}=6
等号は x=\dfrac{9}{x}、すなわち x=3 のとき。
答 最小値 6（x=3）
等号は x=\dfrac{9}{x}、すなわち x=3 のとき。
答 最小値 6（x=3）
2
x>0,\ y>0 のとき、\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) の最小値を求めよ。
解答
展開すると xy+4+1+\dfrac{4}{xy}=xy+\dfrac{4}{xy}+5
xy>0 より xy+\dfrac{4}{xy}\ge2\sqrt{4}=4
よって 与式 \ge 9。等号は xy=2（例えば x=1,\ y=2）のとき。
答 最小値 9
xy>0 より xy+\dfrac{4}{xy}\ge2\sqrt{4}=4
よって 与式 \ge 9。等号は xy=2（例えば x=1,\ y=2）のとき。
答 最小値 9
注意例題2で各かっこに別々に使うと 2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\cdot2\sqrt{\dfrac{4y}{x}}=8 となるが、等号条件 xy=1 と xy=4 が同時に成り立たないので誤り。まず展開。
確認問題
1
x>1 のとき x+\dfrac{1}{x-1} の最小値
答え
3（=(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+1\ge2+1、等号 x=2）