剰余の定理
着眼点割り算をせずに余りが出せる。余りの次数は「割る式の次数 − 1」以下とおく。
整式 P(x) を x-a で割った余りは P(a)。ax-b で割った余りは P\!\left(\dfrac{b}{a}\right)。
2次式で割った余りは px+q とおき、P(x)=(\text{割る式})Q(x)+px+q に割る式が 0 になる x を代入する。
例題
1
P(x)=x^3-2x+5 を x+2 で割った余りを求めよ。
解答
P(-2)=-8+4+5=1
答 1
答 1
2
整式 P(x) を x-1 で割ると 3 余り、x+2 で割ると -3 余る。P(x) を (x-1)(x+2) で割った余りを求めよ。
解答
P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b とおく。
P(1)=a+b=3、P(-2)=-2a+b=-3
引いて 3a=6、a=2,\ b=1
答 2x+1
P(1)=a+b=3、P(-2)=-2a+b=-3
引いて 3a=6、a=2,\ b=1
答 2x+1
注意x+2 で割るときに代入するのは x=-2。符号の取り違えに注意。