二項係数の和・余りへの応用
着眼点(1+x)^n の x に 1 や -1 を代入する。余りは「割る数の近く」で二項展開。
(1+x)^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}x+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}x^n
- x=1: {}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}=2^n
- x=-1: {}_{n}\mathrm{C}_{0}-{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}-\cdots=0
例題
1
{}_{10}\mathrm{C}_{0}+{}_{10}\mathrm{C}_{2}+{}_{10}\mathrm{C}_{4}+\cdots+{}_{10}\mathrm{C}_{10} の値を求めよ。
解答
偶数番目の和を E、奇数番目の和を O とすると
E+O=2^{10},\ E-O=0
よって E=2^9=512
答 512
E+O=2^{10},\ E-O=0
よって E=2^9=512
答 512
2
11^{10} を 100 で割った余りを求めよ。
解答
11^{10}=(1+10)^{10}=1+{}_{10}\mathrm{C}_{1}\cdot10+{}_{10}\mathrm{C}_{2}\cdot10^2+\cdots
第3項以降はすべて 100 の倍数。
1+100=101 を 100 で割った余りは 1
答 1
第3項以降はすべて 100 の倍数。
1+100=101 を 100 で割った余りは 1
答 1