恒等式の係数決定（係数比較・数値代入）
着眼点「すべての x について成り立つ」→ 係数比較か、都合のよい値の代入。
- 係数比較法: 両辺を展開・整理して同じ次数の係数を等しくおく
- 数値代入法: 計算が楽になる x を代入して連立（必要条件）→ 最後に恒等式になることを確認
例題
1
x^2+3x+4=a(x-1)^2+b(x-1)+c が x についての恒等式となるよう a,b,c を定めよ。
解答
t=x-1（x=t+1）とおくと左辺は
(t+1)^2+3(t+1)+4=t^2+5t+8
よって a=1,\ b=5,\ c=8
(t+1)^2+3(t+1)+4=t^2+5t+8
よって a=1,\ b=5,\ c=8
2
\dfrac{3x+1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+1} が恒等式となるよう a,b を定めよ。
解答
分母を払って 3x+1=a(x+1)+b(x-1)
x=1: 4=2a、a=2
x=-1: -2=-2b、b=1
逆に 2(x+1)+(x-1)=3x+1 で恒等式になる。
答 a=2,\ b=1
x=1: 4=2a、a=2
x=-1: -2=-2b、b=1
逆に 2(x+1)+(x-1)=3x+1 で恒等式になる。
答 a=2,\ b=1
注意数値代入法だけで終わると「必要条件」しか示していない。代入した値の個数が次数＋1以上でないときは逆の確認を書く。