分数式の計算（通分・部分分数）
着眼点分母は先に因数分解。連続する積の和は部分分数 \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} で消える。
\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right)\quad(a\neq b)
例題
1
\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1} を計算せよ。
解答
\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{x^2-1}
2
\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)} を計算せよ。
解答
各項を部分分数に分けると
\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right)+\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right)+\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\right)
=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{3}{x(x+3)}
\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right)+\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right)+\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\right)
=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{3}{x(x+3)}
ポイント部分分数は数列の和（数学B）でもそのまま使う。