不等式の証明（差をとる・平方完成・2乗して比較）
着眼点基本は「左辺−右辺 \ge 0」。\sqrt{\ } や絶対値は、両辺が正（0以上）を確認してから2乗の差をとる。
- 差 A-B をつくる
- 因数分解か平方完成で (\ )^2+(\ )^2 の形へ
- 等号成立条件を書く
A\ge0,\ B\ge0 のとき A\ge B \iff A^2\ge B^2
例題
1
実数 a,b に対して a^2+b^2\ge 2(a+b-1) を証明せよ。等号成立条件も答えよ。
解答
左辺−右辺 =a^2-2a+1+b^2-2b+1=(a-1)^2+(b-1)^2\ge0
等号は a=b=1 のとき（証明終）
等号は a=b=1 のとき（証明終）
2
a>0,\ b>0 のとき \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b} を証明せよ。
解答
両辺とも正なので、2乗の差を考える。
(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}>0
よって \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}（証明終）
(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}>0
よって \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}（証明終）
ポイント絶対値の不等式 |a|+|b|\ge|a+b| も「両辺 0 以上 → 2乗の差 =2(|ab|-ab)\ge0」で示せる。
確認問題
1
x^2-xy+y^2\ge0 を示す変形
答え
\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0（x について平方完成）