3次式・重解型で割った余り
着眼点(x-a)^2 を含む式で割るときは、余りを「k(x-a)^2+(\text{既知の余り})」とおくと未知数が1つで済む。
P(x) を (x-a)^2(x-b) で割った余りを R(x)（2次以下）とすると、
R(x) を (x-a)^2 で割った余り＝ P(x) を (x-a)^2 で割った余り。
よって R(x)=k(x-a)^2+(\text{その余り}) とおける。
例題
1
x^{10} を x^2-1 で割った余りを求めよ。
解答
x^{10}=(x^2-1)Q(x)+ax+b とおく。
x=1: 1=a+b、x=-1: 1=-a+b
a=0,\ b=1
答 1
x=1: 1=a+b、x=-1: 1=-a+b
a=0,\ b=1
答 1
2
整式 P(x) を (x-1)^2 で割ると余りが 2x+1、x-2 で割ると余りが 7 である。P(x) を (x-1)^2(x-2) で割った余りを求めよ。
解答
P(x)=(x-1)^2(x-2)Q(x)+k(x-1)^2+2x+1 とおける。
P(2)=k+5=7 より k=2
余り =2(x-1)^2+2x+1=2x^2-2x+3
（検算: x=2 で 8-4+3=7。2x^2-2x+3-2(x-1)^2=2x+1）
答 2x^2-2x+3
P(2)=k+5=7 より k=2
余り =2(x-1)^2+2x+1=2x^2-2x+3
（検算: x=2 で 8-4+3=7。2x^2-2x+3-2(x-1)^2=2x+1）
答 2x^2-2x+3