多項定理（3項の展開）
着眼点「どの項を何個選ぶか」の組を全部書き出し、それぞれ \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!} を足す。
(a+b+c)^n \text{ の } a^p b^q c^r \text{ の係数}=\frac{n!}{p!\,q!\,r!}\quad(p+q+r=n)
例題
1
(x+y+z)^5 の展開式における x^2yz^2 の係数を求めよ。
解答
p=2,\ q=1,\ r=2（和 5）
\dfrac{5!}{2!\,1!\,2!}=\dfrac{120}{4}=30
答 30
\dfrac{5!}{2!\,1!\,2!}=\dfrac{120}{4}=30
答 30
2
(1+x+x^2)^4 の展開式における x^3 の係数を求めよ。
解答
1 を p 個、x を q 個、x^2 を r 個選ぶとして
p+q+r=4,\ q+2r=3
・r=0,\ q=3,\ p=1: \dfrac{4!}{1!\,3!\,0!}=4
・r=1,\ q=1,\ p=2: \dfrac{4!}{2!\,1!\,1!}=12
合計 4+12=16
（検算: (1+x+x^2)^2=1+2x+3x^2+2x^3+x^4 を2乗した x^3 の係数は 2\cdot(1\cdot2+2\cdot3)=16）
答 16
p+q+r=4,\ q+2r=3
・r=0,\ q=3,\ p=1: \dfrac{4!}{1!\,3!\,0!}=4
・r=1,\ q=1,\ p=2: \dfrac{4!}{2!\,1!\,1!}=12
合計 4+12=16
（検算: (1+x+x^2)^2=1+2x+3x^2+2x^3+x^4 を2乗した x^3 の係数は 2\cdot(1\cdot2+2\cdot3)=16）
答 16
ポイント組の書き出しは「指数の大きい項の個数 r」で場合分けすると漏れない。