二項定理と一般項
着眼点展開しきらず「一般項」を書き、指数の条件から r を決める。
(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,a^{n-r}b^{r}
一般項（第 r+1 項）: {}_{n}\mathrm{C}_{r}\,a^{n-r}b^{r}
- 一般項を書く（係数・符号も a,b に含めたまま）
- x の指数を r の式にする
- 欲しい指数と等しいとおいて r を出し、係数を計算
例題
1
(2x-1)^5 の展開式における x^3 の係数を求めよ。
解答
一般項は {}_{5}\mathrm{C}_{r}(2x)^{5-r}(-1)^r={}_{5}\mathrm{C}_{r}\,2^{5-r}(-1)^r x^{5-r}
5-r=3 より r=2
係数 ={}_{5}\mathrm{C}_{2}\cdot 2^3\cdot(-1)^2=10\cdot 8=80
答 80
5-r=3 より r=2
係数 ={}_{5}\mathrm{C}_{2}\cdot 2^3\cdot(-1)^2=10\cdot 8=80
答 80
2
\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^6 の展開式における定数項を求めよ。
解答
一般項は {}_{6}\mathrm{C}_{r}(x^2)^{6-r}\left(\dfrac{1}{x}\right)^r={}_{6}\mathrm{C}_{r}\,x^{12-2r-r}={}_{6}\mathrm{C}_{r}\,x^{12-3r}
12-3r=0 より r=4
定数項 ={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15
答 15
12-3r=0 より r=4
定数項 ={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15
答 15
注意(2x-1)^5 の 2 や -1 を一般項から外し忘れて {}_{5}\mathrm{C}_{2}=10 と答えるミスが最多。符号 (-1)^r も忘れない。
確認問題
1
(x+2)^6 の x^4 の係数
答え
60（r=2: {}_{6}\mathrm{C}_{2}\cdot 2^2=15\cdot4）