虚数解が与えられたときの係数決定
着眼点実数係数なら共役も解。2解から2次式の因数を作り、割り算か係数比較。
実数係数の方程式が p+qi を解にもつ \Rightarrow p-qi も解。
このとき x^2-2px+(p^2+q^2) が因数になる。
例題
1
実数 a,b について、x^2+ax+b=0 が 2-i を解にもつとき a,b を求めよ。
解答
2+i も解。和 4、積 4+1=5
x^2-4x+5=0 と一致するので 答 a=-4,\ b=5
x^2-4x+5=0 と一致するので 答 a=-4,\ b=5
2
実数 a,b について、x^3+ax^2+bx+10=0 が 1+2i を解にもつ。a,b と他の解を求めよ。
解答
1-2i も解なので、和 2、積 5 より x^2-2x+5 が因数。
x^3+ax^2+bx+10=(x^2-2x+5)(x+c) とおくと定数項より 5c=10、c=2
(x^2-2x+5)(x+2)=x^3+x+10
答 a=0,\ b=1、他の解 x=1-2i,\ -2
（検算: (1+2i)^3=-11-2i、-11-2i+(1+2i)+10=0）
x^3+ax^2+bx+10=(x^2-2x+5)(x+c) とおくと定数項より 5c=10、c=2
(x^2-2x+5)(x+2)=x^3+x+10
答 a=0,\ b=1、他の解 x=1-2i,\ -2
（検算: (1+2i)^3=-11-2i、-11-2i+(1+2i)+10=0）
ポイント別解: x=1+2i を直接代入して実部・虚部＝0 の連立でもよい。3次以上は因数で攻めるほうが速い。