3次方程式の解と係数の関係
着眼点ax^3+bx^2+cx+d=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\times a を展開して比べたもの。
\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}
例題
1
x^3-2x^2+3x-4=0 の3解を \alpha,\beta,\gamma とするとき、\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 を求めよ。
解答
\alpha+\beta+\gamma=2,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=2^2-2\cdot3=-2
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=2^2-2\cdot3=-2
2
同じ方程式で (1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma) を求めよ。
解答
P(x)=x^3-2x^2+3x-4=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
x=-1 を代入: P(-1)=-(1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma)
P(-1)=-1-2-3-4=-10 より 答 10
（検算: 1+2+3+4=10 と展開しても一致）
x=-1 を代入: P(-1)=-(1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma)
P(-1)=-1-2-3-4=-10 より 答 10
（検算: 1+2+3+4=10 と展開しても一致）