1の3乗根 \omega
着眼点使う性質は2つだけ: \omega^3=1 と \omega^2+\omega+1=0。
x^3=1 \iff (x-1)(x^2+x+1)=0。虚数解の1つを \omega とすると
\omega^3=1,\quad \omega^2+\omega+1=0,\quad \overline{\omega}=\omega^2例題
1
\omega^{10}+\omega^5+1 の値を求めよ。
解答
\omega^{10}=(\omega^3)^3\omega=\omega、\omega^5=\omega^3\omega^2=\omega^2
与式 =\omega+\omega^2+1=0
与式 =\omega+\omega^2+1=0
2
(1+\omega)^6 の値を求めよ。
解答
1+\omega=-\omega^2 より (1+\omega)^6=(-\omega^2)^6=\omega^{12}=(\omega^3)^4=1
ポイント指数は「3で割った余り」に置き換える。