複素数の相等
着眼点「a,b は実数」を確認してから、実部と虚部を別々に等しくおく。
a,b,c,d が実数のとき
a+bi=c+di\iff a=c \text{ かつ } b=d特に a+bi=0\iff a=b=0
例題
1
実数 x,y が (1+i)x+(2-i)y=4+i を満たすとき、x,y を求めよ。
解答
左辺を整理: (x+2y)+(x-y)i=4+i
x+2y=4,\ x-y=1
引いて 3y=3、y=1,\ x=2
答 x=2,\ y=1
x+2y=4,\ x-y=1
引いて 3y=3、y=1,\ x=2
答 x=2,\ y=1
2
2乗すると 8i になる複素数 z を求めよ。
解答
z=a+bi（a,b 実数）とおくと z^2=a^2-b^2+2abi=8i
a^2-b^2=0,\ 2ab=8
ab=4>0 より a=b、a^2=4、a=\pm2
答 z=2+2i,\ -2-2i（検算: (2+2i)^2=4+8i-4=8i）
a^2-b^2=0,\ 2ab=8
ab=4>0 より a=b、a^2=4、a=\pm2
答 z=2+2i,\ -2-2i（検算: (2+2i)^2=4+8i-4=8i）
注意虚数には大小関係がない。2i>i のような比較はできない。