解と係数の関係と対称式
着眼点解そのものを求めず、\alpha+\beta と \alpha\beta だけで表して代入する。
ax^2+bx+c=0 \text{ の2解 } \alpha,\beta:\quad \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}
- \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
- \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
- (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta
例題
1
x^2-3x+5=0 の2解を \alpha,\beta とするとき、\alpha^2+\beta^2、\alpha^3+\beta^3 の値を求めよ。
解答
\alpha+\beta=3,\ \alpha\beta=5
\alpha^2+\beta^2=9-10=-1
\alpha^3+\beta^3=27-3\cdot5\cdot3=27-45=-18
\alpha^2+\beta^2=9-10=-1
\alpha^3+\beta^3=27-3\cdot5\cdot3=27-45=-18
2
同じ \alpha,\beta について \dfrac{\beta^2}{\alpha}+\dfrac{\alpha^2}{\beta} の値を求めよ。
解答
通分して \dfrac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}=\dfrac{-18}{5}
答 -\dfrac{18}{5}
答 -\dfrac{18}{5}
注意\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} のマイナスを落とすミスが多い。\alpha^2+\beta^2 が負になることもある（虚数解だから）。
確認問題
1
x^2+4x+2=0 の2解 \alpha,\beta で (\alpha-\beta)^2
答え
8（16-4\cdot2）