3項間漸化式 a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n
着眼点x^2=px+q の2解 \alpha,\beta を使い、a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) と変形。2通り作って引けば a_n が出る。
- \alpha\ne\beta：a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1} と a_{n+1}-\beta a_n=(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1} を引く
- 解の1つが 1：a_{n+1}-a_n が等比数列 → 階差で戻す
- 重解 \alpha：a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\alpha^{n-1} を \alpha^{n+1} で割る
例題
1
a_1=1,\ a_2=4,\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n の一般項を求めよ。
解答
x^2=5x-6 より x=2,3。
a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n) より a_{n+1}-2a_n=(4-2)3^{n-1}=2\cdot3^{n-1} …①
a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n) より a_{n+1}-3a_n=(4-3)2^{n-1}=2^{n-1} …②
①−②：a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}
答 a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}（検算：a_3=20-6=14、式で 18-4=14）
a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n) より a_{n+1}-2a_n=(4-2)3^{n-1}=2\cdot3^{n-1} …①
a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n) より a_{n+1}-3a_n=(4-3)2^{n-1}=2^{n-1} …②
①−②：a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}
答 a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}（検算：a_3=20-6=14、式で 18-4=14）
2
a_1=1,\ a_2=4,\ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n の一般項を求めよ。
解答
x^2=4x-4 より x=2（重解）。a_{n+1}-2a_n=(4-2)2^{n-1}=2^n。
両辺を 2^{n+1} で割ると \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac12。
\{\frac{a_n}{2^n}\} は初項 \frac12、公差 \frac12 の等差数列：\frac{a_n}{2^n}=\frac n2。
答 a_n=n\cdot2^{n-1}（検算：a_3=16-4=12=3\cdot4）
両辺を 2^{n+1} で割ると \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac12。
\{\frac{a_n}{2^n}\} は初項 \frac12、公差 \frac12 の等差数列：\frac{a_n}{2^n}=\frac n2。
答 a_n=n\cdot2^{n-1}（検算：a_3=16-4=12=3\cdot4）
注意①②の右辺の初項は a_2-\alpha a_1（a_1 ではない）。ここで a_1 を使うミスが多い。