階差数列・和 S_n から一般項
着眼点階差から戻すときも、S_n から戻すときも、式は n\ge2 でしか使えない。最後に n=1 を確認。
a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\quad(n\ge2,\ b_n=a_{n+1}-a_n)
a_1=S_1,\qquad a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge2)
例題
1
数列 1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ \dots の一般項を求めよ。
解答
階差は 1,3,5,7,\dots で b_k=2k-1。
n\ge2 のとき a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=1+(n-1)^2。
n=1 でも 1 となり成り立つ。
答 a_n=n^2-2n+2
n\ge2 のとき a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=1+(n-1)^2。
n=1 でも 1 となり成り立つ。
答 a_n=n^2-2n+2
2
初項から第 n 項までの和が S_n=n^2+2n+3 である数列の一般項を求めよ。
解答
a_1=S_1=6。
n\ge2 のとき a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n+3)-\{(n-1)^2+2(n-1)+3\}=2n+1。
n=1 を代入すると 3\ne6 なので、まとめられない。
答 a_1=6、n\ge2 のとき a_n=2n+1
n\ge2 のとき a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n+3)-\{(n-1)^2+2(n-1)+3\}=2n+1。
n=1 を代入すると 3\ne6 なので、まとめられない。
答 a_1=6、n\ge2 のとき a_n=2n+1
注意\sum_{k=1}^{n-1} の上端は n-1。公式の n を n-1 にするのを忘れると1ずれる。