a_{n+1}=pa_n+(n\text{ の式})、a_{n+1}=pa_n+r^n
着眼点r^n がつくなら両辺を r^{n+1} で割る。n の1次式がつくなら「a_n+(\text{1次式})」が等比になるようにくっつける。
例題
1
a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+3^n の一般項を求めよ。
解答
両辺を 3^{n+1} で割る。b_n=\frac{a_n}{3^n} とおくと b_{n+1}=\frac23b_n+\frac13。
\alpha=\frac23\alpha+\frac13 より \alpha=1：b_{n+1}-1=\frac23(b_n-1)。
b_1=\frac23 なので b_n-1=-\frac13\Big(\frac23\Big)^{n-1}。
a_n=3^nb_n=3^n-3^{n-1}\Big(\frac23\Big)^{n-1}
答 a_n=3^n-2^{n-1}
（検算：a_2=4+3=7=9-2、a_3=14+9=23=27-4）
\alpha=\frac23\alpha+\frac13 より \alpha=1：b_{n+1}-1=\frac23(b_n-1)。
b_1=\frac23 なので b_n-1=-\frac13\Big(\frac23\Big)^{n-1}。
a_n=3^nb_n=3^n-3^{n-1}\Big(\frac23\Big)^{n-1}
答 a_n=3^n-2^{n-1}
（検算：a_2=4+3=7=9-2、a_3=14+9=23=27-4）
2
a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+n の一般項を求めよ。
解答
a_{n+1}+(n+1)+1=2(a_n+n+1) と変形できる（右辺を展開すると 2a_n+2n+2、左辺は 2a_n+n+n+2 で一致）。
\{a_n+n+1\} は初項 3、公比 2 の等比数列：a_n+n+1=3\cdot2^{n-1}。
答 a_n=3\cdot2^{n-1}-n-1
（検算：a_2=3、a_3=8 と一致）
\{a_n+n+1\} は初項 3、公比 2 の等比数列：a_n+n+1=3\cdot2^{n-1}。
答 a_n=3\cdot2^{n-1}-n-1
（検算：a_2=3、a_3=8 と一致）
ポイント1次式の係数が分からなければ a_{n+1}+s(n+1)+t=2(a_n+sn+t) とおいて係数比較（s=1,\ t=1 が出る）。階差をとって a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)+1 にする方法もある。