等差数列の一般項と和
着眼点初項 a と公差 d の2つを決めれば全部決まる。和は「（初項＋末項）×項数÷2」。
a_n=a+(n-1)d
S_n=\frac{n(a+a_n)}{2}=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}
例題
1
第5項が 17、第12項が 45 の等差数列の一般項と、初項から第20項までの和を求めよ。
解答
a+4d=17,\ a+11d=45 より 7d=28、d=4,\ a=1。
a_n=4n-3。a_{20}=77 なので S_{20}=\frac{20(1+77)}{2}=780。
答 a_n=4n-3、和 780
a_n=4n-3。a_{20}=77 なので S_{20}=\frac{20(1+77)}{2}=780。
答 a_n=4n-3、和 780
2
初項 50、公差 -3 の等差数列の、初項から第 n 項までの和の最大値を求めよ。
解答
a_n=50-3(n-1)=53-3n。a_n>0 \iff n<\frac{53}{3}=17.6\cdots なので第17項まで正（a_{17}=2,\ a_{18}=-1）。
正の項をすべて足したところで最大：S_{17}=\frac{17(50+2)}{2}=442。
答 442（n=17）
正の項をすべて足したところで最大：S_{17}=\frac{17(50+2)}{2}=442。
答 442（n=17）
ポイント和の最大・最小は「項の符号が変わるところ」を探すのが速い。S_n を2次関数として平方完成してもよい。