分数型は逆数をとる
着眼点a_{n+1}=\frac{a_n}{pa_n+q} の形は、逆数 b_n=\frac{1}{a_n} で1次の漸化式になる。
例題
1
a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1} の一般項を求めよ。
解答
a_n>0（帰納的に明らか）なので逆数をとれる。\frac{1}{a_{n+1}}=2+\frac{1}{a_n}。
\{\frac{1}{a_n}\} は初項 1、公差 2 の等差数列：\frac{1}{a_n}=2n-1。
答 a_n=\frac{1}{2n-1}
\{\frac{1}{a_n}\} は初項 1、公差 2 の等差数列：\frac{1}{a_n}=2n-1。
答 a_n=\frac{1}{2n-1}
注意逆数をとる前に a_n\ne0 を一言述べる。