群数列（区切りを入れた数列）
着眼点「第 n 群の最後の項は、もとの数列の第何項か」を最初に求める。そこから何群の何番目かを挟み撃ちで決める。
第 k 群に k 個ずつ入るなら、第 n 群の最後は第 \frac{n(n+1)}{2} 項、最初は第 \frac{n(n-1)}{2}+1 項。
例題
1
自然数を 1\,|\,2,3\,|\,4,5,6\,|\,7,\dots と第 n 群に n 個入るように分ける。100 は第何群の何番目か。また第 n 群の数の和を求めよ。
解答
第 n 群の最後の数は \frac{n(n+1)}{2}。\frac{13\cdot14}{2}=91<100\le105=\frac{14\cdot15}{2} より第14群。
第14群の最初は 92 なので 100 は 9 番目。
第 n 群は初項 \frac{n(n-1)}{2}+1、末項 \frac{n(n+1)}{2}、n 個の等差数列なので和は \frac{n}{2}\Big\{\frac{n(n-1)}{2}+1+\frac{n(n+1)}{2}\Big\}=\frac{n(n^2+1)}{2}。
答 第14群の9番目、和 \frac{n(n^2+1)}{2}（検算 n=2：2+3=5）
第14群の最初は 92 なので 100 は 9 番目。
第 n 群は初項 \frac{n(n-1)}{2}+1、末項 \frac{n(n+1)}{2}、n 個の等差数列なので和は \frac{n}{2}\Big\{\frac{n(n-1)}{2}+1+\frac{n(n+1)}{2}\Big\}=\frac{n(n^2+1)}{2}。
答 第14群の9番目、和 \frac{n(n^2+1)}{2}（検算 n=2：2+3=5）
確認問題
1
\frac11,\ \frac12,\frac22,\ \frac13,\frac23,\frac33,\dots の第50項
答え
第9群までで 45 項。第10群の5番目なので \frac{5}{10}